Der Ito-Kalkul by Thomas Deck

By Thomas Deck

Dieses Buch behandelt stochastische Integrale bez?glich der Brownschen Bewegung (It?-Integrale), den daraus resultierenden It?schen Differentialkalk?l und einige Anwendungen. Das Buch zeichnet sich durch zwei Besonderheiten aus: Zum Einen sind die mathematischen Voraussetzungen minimiert, und zum Anderen wird der It?-Kalk?l in einem ersten Schritt v?llig ohne Martingale entwickelt. Dies erleichtert (insbesondere f?r Anwender) den Einstieg in die Theorie, da tiefer liegende stochastische Methoden zun?chst nicht ben?tigt werden. Erst in einem zweiten Schritt werden die engen Beziehungen zur Martingaltheorie und zur Browschen Bewegung entwickelt (Darstellungss?tze, S?tze von L?vy, Girsanov, etc.). Anwendungen auf stochastische Differentialgleichungen und Optionspreistheorie runden den textual content ab.

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Beweis. 18). 17). 15) als Xt = Φ(t, 0)X0 + Yt und beachtet E[Yt ] = 0, so folgt zun¨ Cov[Xs , Xt ] = E[(Φ(s, 0)X0 + Ys )(Φ(t, 0)X0 + Yt )† ] − E[Xt ]E[Xt† ] = Φ(s, 0) E[X0 X0† ] − E[X0 ]E[X0† ] Φ† (t, 0) + E[Ys Yt† ] = Φ(s, 0)Cov[X0 ]Φ† (t, 0) + E[Ys Yt† ] . 19) hiermit aus s E[Ys Yt ] = E[ t∧s = 0 t Φ(s, u)C(u)dBu 0 † Φ(t, u)C(u) dBu ] Φ(s, u)C(u)C † (u)Φ† (t, u) du 0 t∧s = Φ(s, 0) Φ(0, u)C(u)C † (u)Φ† (0, u) du Φ† (t, 0) . 20). 20) ein lineares System mit stetigen Koeffizienten ist. 5) im Wesentlichen abgeschlossen.

Dann l¨ m(t) ˙ = A(t)m(t) , m(0) = E[X0 ] . 17) Mit Hilfe der Fundamentall¨ osung Φ besitzt m(t) also die Darstellung m(t) = Φ(t, 0)E[X0 ] . 18) ⊥ σ(Bs , s ≥ 0), so gilt f¨ ur K(s, t) := Cov[Xs , Xt ]: Ist X0 ∈ L2 (P ) und X0 ⊥ t∧s K(s, t) = Φ(s, 0) Cov[X0 ] + Φ(0, u)C(u)C(u)† Φ† (0, u) du Φ† (t, 0) . 20) zum Anfangswert K(0) = Cov[X0 ]. Beweis. 18). 17). 15) als Xt = Φ(t, 0)X0 + Yt und beachtet E[Yt ] = 0, so folgt zun¨ Cov[Xs , Xt ] = E[(Φ(s, 0)X0 + Ys )(Φ(t, 0)X0 + Yt )† ] − E[Xt ]E[Xt† ] = Φ(s, 0) E[X0 X0† ] − E[X0 ]E[X0† ] Φ† (t, 0) + E[Ys Yt† ] = Φ(s, 0)Cov[X0 ]Φ† (t, 0) + E[Ys Yt† ] .

Wir betrachten nun das Wiener-Integral als Funktion der oberen Grenze. 5 Wiener-Integrale als stetige Prozesse 37 ur p ≥ 1]. Zu jeL2loc ([α, ∞)) bezeichnen [bzw. s. n fest. Die Existenz einer stetigen Version solch einer Familie wird mit folgendem elementaren, aber a¨ußerst n¨ utzlichen Lemma von Borel-Cantelli bewiesen. 22 (Borel-Cantelli). Sei (Ω, F, P ) ein W-Raum und (An )n∈N eine Folge von Ereignissen. Dann gilt ∞ P (An ) < ∞ ⇒ P ({ω ∈ Ω| ω ∈ An unendlich oft}) = 0 . n=1 ur jedes i ∈ Beweis.

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