Betriebsstörungen und Warteschlangen: Die Erfassung by Klaus-Peter Kistner

By Klaus-Peter Kistner

Kistner legt eine streng aufgebaute vollstandige Theorie stor­ anfalliger Produktionssysteme vor. Der erste Teil enthalt eine Einflihrung in das challenge, der zweite Teil behandelt Betriebs­ storungen bei einzelnen Maschinen, und der dritte Teil analy~ siert Betriebsstorungen bei mehreren interdependenten Maschi­ nen. Im vierten Teil werden die Ergebnisse zusammengefaBt. Die vorliegende Arbeit ist ein fundamentales Werk zur Theorie der Betriebsstorungen. Hier wird eine wesentliche Llicke ge­ schlossen. Der Abhandlung liegt ein strenges Schema zugrunde:" In einem storanfalligen Produktionssystem sind vier Basispro­ zesse zu unterscheiden: AnkunftsprozeB, BedienungsprozeB, Sto­ rungsprozeB und ReparaturprozeB. Von diesen Basisprozessen wer­ den der WarteschlangenprozeB, WartezeitprozeB und der Maschi­ nenzustandsprozeB abgeleitet. Den Storungsprozessen kommt die groBte Bedeutung zu. Kistner flihrt eine eigene sehr sachadaqua­ te Systematik der Betriebsstorungen ein. Innerhalb der Storun­ gen unterscheidet Kistner unterbrechende Storungen, ausschuB­ verursachende Storungen, verzogerte Storungen und ein Nachlas­ sen der Bedienungsgeschwindigkeit. Im Rahmen dieser Hauptgrup­ pen von Storungen werden kumulative Storungen, externe Storun­ gen und interne Storungen unterschieden. Diese Grundformen von Betriebsstorungen und ihre verschiedenen Kombinationen ergeben eine Flille von Erklarungsmodellen und Optimierungsmodellen, die Kistner auf ihre Eigenschaften hin untersucht. Besonders gllicklich gelungen ist die Verbindung von allgemeinen Zustandsbedingungen und Optimalitatsbedingungen und ihre anschauliche numerische Auswertung. Eindrucksvoll sind auch die anschaulichen Vergleiche der verschiedenen Mo­ delle. Kistner leitet viele analytische und durch Simulation gewonnene neue Ergebnisse abo Hier kann nur auf einige hingewiesen wer­ den: Die optimale Betriebsgeschwindigkeit in einem storanfal­ ligen ProzeE ist groEer als bei einer storungsfreien Maschine.

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46 Es gilt daher fUr n=l : 00 PI (O,t) = b(x)P 2 (x,t)dx + aPo (t) 0 ( 25) fUr n ) 1 gilt hingegen Pn(O,t) = f b(x)P n + 1 (x,t)dx o (26) FUr t .. "" erhiHt man fUr die Gleichgewichtswahrscheinlichkei ten P (x) = lim P (x,t): n t .. 00 dP n (x) aP dx dP 1 (x) n- 1 (x) - {a+b (x)}p n (x) -{a+b(x) }P 1 (x) dx aP n f b(x)P 1 (x)dx o (28) (29) o f b(x)P 2 (x)dx + aPo (30) f b(x)Pn+l (x)dx o (31 ) o P n (0) (27) Die Lasung dieses Systems von Differenzen-Differentialgleichungen erfolgt am besten mit Hilfe der erzeugenden Funktionen.

Ist die Zahl der Komponenten groB, dann ist die Dauer des Arbeitsintervalls naherungsweise Weibull-verteilt [ 29] . c) Die Lognormal-Verteilung [ 30] Die Dichte der Lognormalverteilung ist schlieBlich gegeben durch 1 t/21TO 32 {In(f)t) exp - [ 26 }2] (35 ) die Verteilungsfunktion ist gleich J t __ 1_ nn6 o exp _[{In(l1 U ) }2] du 26 -u- (36) Durch die Substitution v In(l1t) = g~ht (37) 16 (36) in die standardisierte Normalverteilung tiber w 1 J e I21i mit w=(ln t -u 2 /2 du (38) _00 + Inll)/;O- Die Logarithmen einer lognormalverteilten ZufallsgroBe sind also normalverteilt mit Mittelwert -Inn und Varianz o.

Monotoner Anstieg bis zu einer Obergrenze 3. Absinken nach Erreichen eines Maximalwertes. II. Die Elemente des Systems und ihre Beziehungen zueinander Nachdem im vorigen Abschnitt einige Ergebnisse der Theorie der stochastischen Prozesse und einige fUr die Basisprozesse der hier zu behandelnden Wartesysteme mit Betriebsstorungen behandelt wurden, ist es nun erforderlich, die Struktur der Basisprozesse und ihre Beziehungen zueinander zu prazisieren. Die wesentlichen Eigenschaften eines Wartesystems mit Betriebsstorungen lassen sich in folgenden Pramissen zusammenfassen: Pramisse 1: Die AnkUnfte der Kunden werden durch einen stochastischen ProzeB (AnkunftsprozeB) beschrieben.

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