Arbeiten zur Analysis und zur mathematischen Logik by G. Peano (auth.)

By G. Peano (auth.)

Dieser Band enthält fotomechanische Nachdrucke klassischer Arbeiten von Giuseppe Peano zur research und zur mathematischen Logik aus den Jahren 1886 bis 1899, denen für die Herausbildung der gegenwärtigen Mathematik große Bedeutung zukommt. Im Nachwort berichtet der Herausgeber über die Entstehungsgeschichte der abgedruckten Arbeiten, über deren Stellung im Gesamtwerk Peanos und über ihre Verflechtung mit der Entwicklung der Mathematik um die Jahrhundertwende. Fotos und Archivalien komplettieren das Buch. Aus den Besprechungen: "Die mathematische Behandlung der Grundlagen der Mathematik ... ist aus der Verbindung zweier verschiedener Forschungsrichtungen ... hervorgegangen. Einerseits das Werk der Meister der research und der Geometrie, sofern sie ihre Axiome formulierten und systematisierten, und das Werk von Cantor und anderen über Gebiete wie die Mengentheorie. Andererseits die symbolische Logik, die nach der notwendigen Entwicklungsperiode jetzt dank Peano und seinen Nachfolgern die technische Verwendbarkeit und logische Bündigkeit erreicht hat, die wesentlich sind für ein mathematisches Hilfsmittel zur Behandlung dessen, was once bisher die Grundlagen der Mathematik gebildet hat." A.N. Whitehead, B. Russell#1

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H) nach Potenzen von h entwickeln HlJst Wenn sich {(x und fiir den betrachteten Wert von x kontinuierlich ist, d. h. wenn + {(x + h) = {(x) + ~h + ashs + etc. ist, so folgt daraus, wie schon gesagt wurde, dars a 1 = {'(x) ist; die von Lagrange gegebene Definition, dars {'(x) der Koefficient h) nach Potenzen von h sai, von h in der Entwicklung der {(x deckt sich daher mit der Wirklichkeit. Nicbt aber folgt daraus t dars auch ('(x h) sich in eine Reihe entwickeln lasse und h) = (,(x) 2a2 h etc. erhalte.

Weil aber a unendlich klein ist, somufs dies auch fJ sein. - 36 - Anhang lli. Ober die Taylor'sche Formel. 363 Theorem V. Wenn {(x) {ur den betrachteten Wert von x die successiven Derivierten bis tur nten hat, so ist: {(x + h) = ((x) + hf'(x) + ... hn ((nl(x) + etc. Denn, nach der V oraussetzung ist . r{n-ll(x 11m oder «n-ll(X + h)h - + h) = t'n-ll{x) «n-ll(x) = «nl(x) + h«nl(x) + etc. Integriert man nun in Bezug aufh, d. h. wendet man den vorhergehenden Satz an, so erhalt man «n-2)(x + h) = ((n-2)(x) + h«n-ll (x) + 2"hi «nl(x) + etc.

U. Integral-Rechnung. 43 24 370 Anhang IV. tJber die Defrnition des Integrals. Man betrachte die Summen r=n 8' = ~CXr+1 - x~) l' f(XrH Xr+1), r=O 81 = ,2CXr +1 - Xr) IdCXrH Xr+1) , in welchen Xo = a, Xli X2 , ••• Xn-1, Xn = b die Teilpunkte des gegebenen Intervalls sind; 8' ist die Summe der Produkte der Ausdehnung der Teilintervalle mit den oberen Grenzen der Werte der Funktion in ihnen. In der Summe 8 1 dagegen treten statt der oberen die unteren Grenzen auf. llt, integrierbar ist. " In der Abhandlung ,,8ull' integrabilita delle funzioni (Atti della R.

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