Analysis 2, 5. Auflage by Wolfgang Walter

By Wolfgang Walter

Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f?r Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche vital im Rn behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von "Analysis 1" folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh?ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab. Der Abschnitt "L?sungen und L?sungshinweise" wurde f?r die Neuauflage wesentlich erweitert, so da? die ?berwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollst?ndig gel?st wird.

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Nicht abgeschlossen. Das kann man im Fall X = IR an den beiden Beispielen n~ (-i, i) = {O} und U7" [i, 1] = (0,1] erkennen. (a) c A. Da Bc(a) offen ist, ist jeder Punkt von Bc(a) innerer Punkt von A, also B£(a) c AO. Somit erweist sich AO als offen. 11, daB A und aA abgeschlossen sind. 13 Satz fiber Inneres, Rand ond abgeschlossene Hfille. Das Innere einer Menge A ist eine ofJene Menge, der Rand und die abgeschlossene Halle von A sind abgeschlossene Mengen. Weiter sieht man leicht, daB jede offene Teilmenge G von A in AO liegt.

Ohne Muhe zeigt man, da/3 tfJ'(O) = 2r:t. h. die Punkte ZA E K liegen fUr kleine positive )0 naher an y als z. Das ist aber ein Widerspruch zur Definition von z. Die in (*) definierte Ebene H stutzt also Kin z. 21 (a) erst recht fUr x E H-. Hieraus und aus K c Hfolgt, da/3 der "Lotfu/3punkt" z eindeutig bestimmt ist. Nun sei Kl der Durchschnitt alier abgeschlossenen Halbraume, welche K enthalten. Nach (a) ist Kl eine konvexe Obermenge von K. Wir haben soeben gesehen, daB zu jedem Punkt y rt K ein solcher Halbraum existiert, welcher K, aber nicht y enthii1t.

14. Der Raum Ck(l). Der Raum der im kompakten Intervall I k-mal stetig differenzierbaren Funktionen wird durch die Norm ein Banachraum. Konvergenz nach der Norm bedeutet gleichmaBige Konvergenz aller wird Ableitungen bis zur Ordnung k. Mit der aquivalenten Norm Ilfll· = L~=o 11j

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